Räume und Richtungen (Vektoren)

Was haben ein Foto, ein Satz und ein Song gemeinsam? Bevor ein KI-Modell sie verarbeiten kann, werden sie alle dasselbe: eine Liste von Zahlen. Diese Liste heißt Vektor. Vektoren sind das universelle Datenformat der künstlichen Intelligenz.

In diesem Artikel lernst du, was Vektoren sind, wie du mit ihnen rechnest (addieren, skalieren, Länge messen) und warum das Skalarprodukt — eine einfache Summe aus multiplizierten Komponenten — die Operation ist, die Suchmaschinen relevante Ergebnisse finden und neuronale Netze Muster erkennen lässt.

Skalar vs. Vektor — Einzelwert gegen Liste

Konkret wird jeder Datenpunkt zum Vektor: Ein Haus mit Fläche=120, Zimmer=4, Baujahr=1990, Preis=350.000 wird zu [120, 4, 1990, 350000] — einem 4D-Feature-Vektor. 1000 Häuser = 1000 Vektoren = ein ML-Datensatz.

import numpy as np

# Ein Haus als 4D-Feature-Vektor
haus = np.array([120, 4, 1990, 350000])
print(haus.shape)  # (4,) — 4 Dimensionen

JEDE Eingabe in ein neuronales Netz — Text, Bild, Audio — wird zuerst in einen numerischen Vektor umgewandelt. Ohne Vektoren keine KI.

Vektoroperationen — Addieren, Skalieren, Messen

Drei grundlegende Operationen machen Vektoren zum Werkzeug für KI: Addition, Skalarmultiplikation und die Norm (Länge).

Vektoraddition

Komponentenweise: Jede Position wird einzeln addiert. Geometrisch bedeutet das: Vektoren werden "hintereinander gehängt" (Parallelogrammregel).

Skalarmultiplikation

Jede Komponente wird mit demselben Skalar multipliziert. Das streckt (c > 1), staucht (0 < c < 1) oder dreht um (c < 0) den Vektor.

Norm (Länge)

Die Norm verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebig viele Dimensionen. Für [3, 4]: √(9 + 16) = √25 = 5.

import numpy as np
v1 = np.array([3, 4])
v2 = np.array([1, 2])

print(v1 + v2)              # [4, 6]  — Addition
print(2 * v1)               # [6, 8]  — Skalarmultiplikation
print(np.linalg.norm(v1))   # 5.0    — Norm
print(v1 / np.linalg.norm(v1))  # [0.6, 0.8] — Normalisierung

Das Skalarprodukt — Ähnlichkeit messen

Die Summe der komponentenweisen Produkte. Das Ergebnis ist ein Skalar — eine einzelne Zahl.

Gleiche Richtung → cos(0°) = 1 → maximales Skalarprodukt. Senkrecht → cos(90°) = 0. Entgegengesetzt → cos(180°) = −1.

Kosinus-Ähnlichkeit

Das normalisierte Skalarprodukt ergibt einen Wert zwischen −1 und +1, unabhängig von der Vektorlänge. In Word-Embeddings ist die Kosinus-Ähnlichkeit das Standardmaß für semantische Verwandtschaft.

import numpy as np

koenig   = np.array([0.9, 0.1, 0.8])
koenigin = np.array([0.9, 0.8, 0.1])
apfel    = np.array([0.1, 0.3, 0.05])

def cosine_sim(a, b):
    return np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))

print(cosine_sim(koenig, koenigin))  # ~0.66
print(cosine_sim(koenig, apfel))     # ~0.41

Interaktiv: Wie Operationen mit der Dimension skalieren

Bewege den Slider, um die Anzahl der Dimensionen d zu verändern — von einer einfachen 2D-Koordinate bis hin zu einem 1000-dimensionalen Embedding. Beobachte, wie unterschiedlich schnell die Kosten verschiedener Operationen wachsen: Vektoraddition und Skalarprodukt skalieren linear mit d, aber die Anzahl benötigter Datenpunkte explodiert exponentiell.