Datentabellen und Transformationen (Matrizen)

Du kennst bereits Vektoren — geordnete Listen von Zahlen, die Datenpunkte repräsentieren. Aber was passiert, wenn du viele Vektoren übereinander stapelst? Du bekommst eine Matrix — ein rechteckiges Raster aus Zahlen. Jede Tabellenkalkulation, jeder Datensatz, jede Schicht eines neuronalen Netzes basiert auf Matrizen.

In diesem Artikel lernst du, was Matrizen sind, wie man sie multipliziert (und warum die Definition nicht willkürlich ist) und warum diese eine Operation das rechnerische Herzstück moderner KI ist.

Was ist eine Matrix?

Drei Häuser mit den Merkmalen Fläche, Zimmer und Baujahr bilden eine 3×3-Matrix. Jede Zeile ist ein Haus, jede Spalte ein Merkmal.

import numpy as np

# Drei Häuser als 3x3-Matrix
haeuser = np.array([
    [120, 4, 1990],
    [85,  3, 2005],
    [200, 6, 1975]
])
print(haeuser.shape)    # (3, 3)
print(haeuser[1, 2])    # 2005 — Baujahr von Haus 2

Jeder Datensatz im maschinellen Lernen ist eine Matrix: Zeilen sind Beispiele, Spalten sind Features. Und jede Netzwerk-Schicht ist eine Matrixtransformation.

Matrizenmultiplikation — Warum genau so?

Die Matrizenmultiplikation sieht auf den ersten Blick kompliziert aus — aber sie hat einen tiefen Grund: Sie beschreibt exakt die Hintereinanderausführung zweier Transformationen. Erst Matrix B, dann Matrix A anwenden, ergibt die Matrix AB.

Jedes Element c_ij des Ergebnisses ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B. Die Verbindung zum Vektoren-Artikel: Matrizenmultiplikation besteht aus vielen Skalarprodukten.

Die inneren Dimensionen müssen übereinstimmen. Eine (m×n)-Matrix mal eine (n×p)-Matrix ergibt eine (m×p)-Matrix. Stimmen die inneren Dimensionen nicht überein, ist die Multiplikation nicht definiert.

import numpy as np

# Gewichtsmatrix W (2x3) mal Eingabevektor x (3x1)
W = np.array([[0.5, -0.3, 0.8],
              [0.1,  0.7, -0.2]])
x = np.array([1, 2, 3])

print(W @ x)          # [2.3, 0.9]
print(W.shape, '@', x.shape, '→', (W @ x).shape)
# (2, 3) @ (3,) → (2,)

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

print(A * B)   # [[ 5, 12], [21, 32]] — elementweise
print(A @ B)   # [[19, 22], [43, 50]] — Matrizenmultiplikation

Matrizen in neuronalen Netzen — Warum GPUs rechnen

Jede vollverbundene Schicht (fully connected layer) eines neuronalen Netzes berechnet genau eine Matrizenmultiplikation: Gewichtsmatrix mal Eingabe plus Bias. Training bedeutet: die Einträge der Gewichtsmatrix so verändern, dass der Fehler kleiner wird.

Statt einen Vektor nach dem anderen zu verarbeiten, stapelt man viele Eingaben zu einer Matrix. So wird ein ganzer Batch (z.B. 32 Bilder) in EINER Matrizenmultiplikation verarbeitet. Das ist dramatisch schneller.

Warum sind GPUs dabei so schnell? Weil bei der Matrizenmultiplikation jedes Skalarprodukt völlig unabhängig von den anderen berechnet wird. Eine CPU hat wenige, sehr schnelle Kerne (z. B. 16). Eine GPU hat Tausende langsamere Kerne (z. B. 10.000). Für Matrizen, wo Tausende einfache Rechnungen gleichzeitig anfallen, ist die GPU dramatisch überlegen.

import numpy as np

# Mini-Netzwerk: 5 Datenpunkte, 3 Features
X = np.random.randn(5, 3)       # Eingabe: (5, 3)
W1 = np.random.randn(3, 4)      # Schicht 1: (3, 4)
W2 = np.random.randn(4, 2)      # Schicht 2: (4, 2)

hidden = X @ W1                  # (5, 3) @ (3, 4) = (5, 4)
output = hidden @ W2             # (5, 4) @ (4, 2) = (5, 2)
print(f'Eingabe: {X.shape} → Verborgen: {hidden.shape} → Ausgabe: {output.shape}')

# Shape-Kette visualisiert:
# (batch × features_in) @ (features_in × features_out) = (batch × features_out)
#   5 × 3               @          3 × 4              =       5 × 4
#   5 × 4               @          4 × 2              =       5 × 2
# Die innere Dimension muss immer übereinstimmen!

Interaktiv: Die berühmteste 2×2-Matrix im ML

Ein neuronales Netz klassifiziert Eingaben in Kategorien — aber wie gut? Die Qualität misst man mit einer Konfusionsmatrix: einer 2×2-Matrix aus Richtig-Positiv, Falsch-Negativ, Falsch-Positiv und Richtig-Negativ. Ändere die Parameter und beobachte, wie sich die vier Zellen der Matrix verschieben — besonders bei seltenen Ereignissen (niedrige Prävalenz) passiert Überraschendes.