Wahrscheinlichkeit & Erwartungswert

Europäisches Roulette: 37 Felder
(18 rot, 18 schwarz, 1 grün)

P(Rot)           = 18/37 ≈ 48,65%
P(Nummer 17)     = 1/37  ≈ 2,7%
P(Rot ODER Schwarz) = 36/37 ≈ 97,3%

Alle 37 Einzelwahrscheinlichkeiten
ergeben zusammen exakt 1.

Jedes Feld hat genau eine Wahrscheinlichkeit, und alle zusammen ergeben 1 — das ist die Grundregel jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die grüne Null ist der Hausvorteil: Sie verschiebt die Gewinnchancen minimal zugunsten des Casinos.

1.000 simulierte Würfe mit einem fairen Würfel: Erwarte ~167 von jedem Wert (1-6). 1.000 Würfe mit einem gezinkten Würfel (P(6) = 0,5): Erwarte ~500 Sechsen, ~100 von jedem anderen Wert. Jedes Histogramm ergibt zusammen 1.000 Würfe. Die Form der Verteilung — gleichmäßig oder verzerrt — bestimmt in ML, welche Algorithmen und Vorverarbeitungsschritte geeignet sind.

Fairer Würfel:
E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/6) + 5·(1/6) + 6·(1/6)
E(X) = 21/6 = 3,5

Roulette, 1 EUR auf Rot:
Gewinn: +1 EUR mit P = 18/37
Verlust: -1 EUR mit P = 19/37
E(X) = 1·(18/37) + (-1)·(19/37) = -1/37 ≈ -0,027 EUR

→ Pro Euro Einsatz verdient das Casino 2,7 Cent.
→ Bei 1 Million Einsätzen: ~27.000 EUR Gewinn.

E(X) = 3,5 für den fairen Würfel — eine Zahl, die bei einem einzelnen Wurf nie erscheint, aber den Langzeitdurchschnitt über Tausende von Würfen recht genau vorhersagt. Beim Roulette bedeutet E(X) = -0,027, dass jeder einzelne Spieler kurzfristig gewinnen kann, aber der Hausvorteil langfristig so gut wie sicher ist.

In der Spielshow "Deal or No Deal" bleiben drei Koffer: 100 EUR, 1.000 EUR und 500.000 EUR. Der Erwartungswert ist (100 + 1.000 + 500.000) / 3 ≈ 167.033 EUR. Der Banker bietet 120.000 EUR. Ein rein rationaler, risikoneutraler Spieler lehnt ab — das Angebot liegt unter dem Erwartungswert. Aber viele echte Menschen nehmen an, weil sich sichere 120.000 EUR wertvoller anfühlen als eine Ein-Drittel-Chance auf 500.000 EUR. Diese Lücke zwischen Erwartungswert und menschlichem Verhalten erklärte Daniel Bernoulli schon 1738: Der subjektive Nutzen von Geld nimmt mit steigendem Wohlstand ab.

Im Reinforcement Learning modellieren Agenten den erwarteten kumulativen Reward jeder Aktion und wählen meist die Aktion mit dem höchsten — der Exploration/Exploitation-Trade-off dreht sich grundlegend um unsichere Erwartungswerte. Klassifizierer geben Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Klassen aus; die vorhergesagte Klasse ist die mit der höchsten Wahrscheinlichkeit. Erwartungswert und Varianz zusammen quantifizieren "wie gut im Durchschnitt" und "wie stark kann es schwanken" — beides ist entscheidend für den realen Einsatz von KI-Systemen. In Python simulierst du diese Verteilungen mit dem Modul `random` — zum Beispiel `random.gauss()` für Normalverteilung oder `random.randint()` für diskrete Gleichverteilung.